用 Python 绘制盈亏月相：从直觉误区到闭合多边形方案

初衷很简单：给定任意日期，画出一轮和现实一致的月亮——盈亏大小、月牙朝向都贴合肉眼所见。
最开始我本能想到用两个圆裁切，一路踩坑，最后找到了一套简洁自洽的实现思路。整个过程整理于此，希望能帮后来者少走弯路。

引子

我想用 Python 画月亮。不是随手画一个圆形贴纸，而是由日期驱动的真实月相：什么时候是细月牙、什么时候是弦月、亮面朝左还是朝右，都和我们抬头看见的一致。

一开始以为这是个小任务。从「两个圆互相裁剪」这个很自然的想法起步，一路碰壁，最后收敛到一套足够优雅的算法。我把完整思考链路记录下来。

一、先厘清核心：月相的成因

动笔写代码之前，得先分清一件极易混淆的事：
日常的阴晴圆缺，不是地球影子挡住月亮（那是月食，一年仅有少数几次）。

月球本身不发光，只有朝向太阳的半球被照亮。我们站在地球上观察，看到的亮面占比随相对角度持续变化，这就是月相。
我们用相位角描述太阳-月球-地球三者的几何关系：

新月到下一次新月的平均周期为 29.530588853 天，称为朔望月。
选定一个已知新月的儒略日作为基准，用当前儒略日对朔望月取模，即可得到月龄，换算相位角。下面是最简版本的计算公式：

SYNODIC_MONTH = 29.530588853
REFERENCE_NEW_MOON_JD = 2451550.1
moon_age = (jd - REFERENCE_NEW_MOON_JD) % SYNODIC_MONTH
phase_angle = moon_age / SYNODIC_MONTH * 360.0

还有一个实用公式，用来计算亮面占整个月轮的比例：

照亮占比 = (1 - cos(相位角)) / 2

在 0°、180° 分别得到 0 和 100%；90°、270° 刚好 50%，和上弦、下弦月对半亮的观感吻合。

二、第一思路：双圆裁切，看似可行，实则走不通

拿到相位角之后，最先冒出来的想法非常直观：
满月是一个整圆；想要月牙，就叠加另一个圆形盖住一部分，剩下露出的区域就是月相。弦月看上去，本来就像是两段圆弧围出来的形状。

但真正动手才发现这个方案有两处硬伤：

1. 形状本身不对：双圆裁切得到的明暗分界线是圆弧；而真实月面的明暗交界线（晨昏线/terminator）曲率是连续变化的，90°弦月时会退化成一条直线。无论怎么调整两个圆的大小位置，都无法复刻这条边界。
2. 绘图原语受限：常规绘图库的圆弧接口只能绘制固定片段，很难精准取出任意一段弧，再和另一段弧线无缝拼接成可填充的闭合图形。

这个方案就此搁置。

三、修正认知：明暗分界线，是一个椭圆的半弧

跳出「两个圆」的思维定式，从三维几何重新理解：
月球是球体，太阳光在球面上切出的明暗分界是球面上的大圆。这个大圆投影到我们的观测平面上，就是椭圆。 我们肉眼看到的明暗界线，本质上是这个椭圆的一半，椭圆的扁率随着相位角持续改变。

设月球视半径为 R、相位角为 θ，该椭圆的半横轴长度为：

半横轴 = R · cos θ

代入几个极值验证，逻辑自洽：

• θ = 0°（新月）：cosθ=1，分界线和月轮外缘重合，几乎没有亮面；
• θ = 90°（上弦月）：cosθ=0，椭圆坍缩为一条竖直线，正好对半照亮；
• θ = 180°（满月）：cosθ=-1，分界线翻转到另一侧外缘，整轮全部亮起。

公式里的负号是关键：它代表明暗边界翻转到对面，对应月相由盈转亏。

到这里，亮区的几何定义已经清晰：外侧是月轮的一段圆弧，内侧是半段椭圆弧，两段弧线共同围成亮区。
但新问题又来了：两段弧线在上下极点处相切，直接拼接填充极易出现细微缝隙；同时又回到老问题——绘图工具很难直接拼接两段不同类型的弧线。

四、放弃弧线拼接：采样点位，生成一条闭合多边形

既然用弧线拼接的路子处处受限，我换了策略：不再组合图形原语，直接构造一条连续的闭合轮廓。

分别对外侧月轮边缘、内侧明暗椭圆界线进行等角度采样，得到两组坐标点；再把界线的点位倒序拼接，首尾相连，形成一条不自交的闭合路径。直接填充这个多边形，不需要依赖弧线接口，也从根源避免拼接缝隙。

在参数 t 对应的高度位置，外缘和明暗界线横坐标：

外缘（月轮边缘 limb）： x = ±R·sin t
明暗界线（晨昏线 terminator）：x = ±R·cos θ·sin t

正负号由相位角判定：θ < 180°，亮区在右侧，取正；反之亮区在左侧，取负。
采样、拼合路径的核心函数：

def _lit_polygon(angle, center, radius):
    k = math.cos(math.radians(angle))
    steps = max(360, int(radius))
    limb, terminator = [], []
    for i in range(steps + 1):
        t = math.pi * i / steps
        y = center - radius * math.cos(t)
        sin_t = math.sin(t)
        if angle < 180:
            # 亮面朝右
            limb.append((center + radius * sin_t, y))
            terminator.append((center + radius * k * sin_t, y))
        else:
            # 亮面朝左
            limb.append((center - radius * sin_t, y))
            terminator.append((center - radius * k * sin_t, y))
    # 界线点位反向拼接，在极点闭合轮廓
    return limb + terminator[::-1]

轮廓线条要放在填充之后绘制，防止轮廓线覆盖、切断月牙两极的收口。

五、图像干净度的关键：先超采样、变换，最后一次性二值化

我想要干净锐利、适合用作图标、素材的黑白月相图。二值图最容易踩的坑是操作顺序颠倒：先压缩成黑白，再做旋转，弧线会出现严重锯齿，细轮廓甚至断裂。

正确的流水线顺序固定为四步，顺序不能调换：

1. 在 4 倍超采样的高画布上绘制多边形，保留灰度过渡余量；
2. 在高分辨率画布上执行旋转（BICUBIC 插值）；
3. 降采样到目标尺寸（LANCZOS，保证边缘平滑）；
4. 最后只做一次二值化：亮度≥128置白，其余透明。

4倍超采样是性价比很高的选择，倍率再高，画质提升有限，但运算成本成倍上涨。核心原则：所有几何变换，都要在灰度高分辨率阶段完成，二值化放在最后一步。

六、朝向：月相倾角和观测纬度有关，南北半球观感翻转

形状算法搞定之后，还有一个很容易忽略的变量：月亮的倾斜角度。
同一个时刻的月亮，在赤道、我国北方、南半球悉尼看到的朝向并不一样：

• 观测纬度决定月面整体的倾斜角度；
• 南半球的观感不是轻微偏转，而是整体上下翻转。

简易旋转计算：

rotation = -lat
if lat < 0:
    rotation += 180.0

再次强调：旋转操作必须放在高分辨率超采样阶段，不能在已经二值化的低分辨率图上旋转，否则锯齿、断线问题会复现。

七、精度取舍：平均朔望月够用吗？什么时候要接入星历？

到这一步，月亮的视觉效果已经足够逼真，但前面的相位角，还在用线性的平均朔望月公式计算。
这套简化模型误差大约半天。对于画图本身完全无感：在一百多像素的图上，半天对应的相位误差只有 2°左右，肉眼分辨不出差别。

促使我放弃简化公式的不是图像，而是附加信息：我还需要在图上标注「下次满月：xx点xx分」这类时间。
实测对比：真实满月 UTC 时刻为 04:12，均值公式算出是前一日 23:45，偏差约4.4小时；新月的误差甚至能接近11小时。弧线看不出差别，但给到用户阅读的时间标签，差几个小时就是硬错误。

于是引入 JPL DE421 星历：直接读取太阳、月球的真实位置，用黄经差计算精确相位角；新月、满月时刻用二分法求解，精度收敛到分钟级别，误差从小时级压缩到十几秒。
代价是引入十几MB的星历文件和天文计算依赖，所以代码做了降级兜底：星历缺失、依赖不可用时，自动回退到朔望月平均公式，图像照常生成，只是时间标签回到有几小时误差的状态。

这里得到一个很有意思的结论：精度需求，不由图片分辨率决定，而是由输出信息的用途决定。画一轮月牙，2°的误差无关紧要；标注一个具体时刻，几小时偏差就无法接受。

八、小结

回看整个实现过程，真正的突破不是某个复杂公式，而是两次思路转换：

1. 从「用多个基础图形拼接月相」，转为「直接采样轮廓点，构造一条闭合多边形」。弧线本身很难组合，采样点的路径方案绕开了绘图原语的限制；
2. 从「先二值化再变换」，转为「全部几何变换前置，二值化放在最后一步」，锯齿、轮廓断裂这些表象问题，找到了底层原因。

最终画出来的月亮并不大，通常只有一百多像素，当然渲染不出环形山。但它能在对应的日期、对应观测地点，呈现出正确的盈亏形态与倾斜朝向。对一段 Python 写出来的小可视化来说，这就足够了。